Matematematika képletek

Algebra → Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek → Exponenciális egyenletek

MR-357

A gömbbe kúpot írunk. A gömb középpontja a kúp magasságát úgy bontja két szakaszra, hogy a hosszabb szakasz egyenlő a rövidebb szakasz és a teljes magasság mértani középértékével. Határozzuk meg a gömb és a kúp térfogatának arányát.

MR-402 / 1.

Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből.
Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát?

MR-534 / 1.

MR-401 / 2.

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

MR-517 / 2.

Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány forintba kerül 35 dkg szalámi?

MR-535 / 2.

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

MR-403 / 3.

Egy hatfős asztaltársaság tagjai: Anna, Balázs, Cili, Dezső, Egon és Fruzsina. Mindegyikük pontosan három másik személyt ismer a társaságban. Cili ismeri Dezsőt és Egont, Anna pedig nem ismeri sem Balázst, sem Dezsőt.

Szemléltesse gráffal a társaság ismeretségi viszonyait! (Minden ismeretség kölcsönös.)

MR-385 / 4.

Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye különböző?

MR-400 / 4.

Adja meg azt az x valós számot, amelyre $\log_{2} x = - 3$ .

MR-404 / 5.

Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a 2-höz pedig 0-t rendel!

$A : x \mapsto 2 x + 4 B : A : x \mapsto 2 x - 4 C : x \mapsto - 2 x + 4 D : x \mapsto - 2 x - 4$

MR-520 / 5.

Egy hatfős társaságban mindenkit megkérdeztek, hány ismerőse van a többiek között (az ismeretségek kölcsönösek). Az első öt megkérdezett személy válasza: 5, 4, 3, 2, 1.
a) Ábrázolja gráffal a hatfős társaság ismeretségi viszonyait!
b) Hány ismerőse van a hatodik személynek a társaságban?

MR-382 / 6.

Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg!

$2^{x} = 10$

MR-405 / 6.

Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60º-os szöget zárnak be egymással.
Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala?

MR-768 / 6.

Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
Válaszát tizedes tört alakban adja meg!

$4^{x} = 8$

MR-396 / 7.

Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!

A: Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor osztható 48-cal is.
B: Ha egy pozitív egész szám minden számjegye osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal.
C: A 48 és a 120 legnagyobb közös osztója a 12.

MR-409 / 7.

Egy dobozban lévő színes golyókról szól az alábbi állítás:
„A dobozban van olyan golyó, amelyik kék színű.”
Válassza ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a fentinek!

MR-383 / 8.

Egy számtani sorozat negyedik tagja 7, ötödik tagja –5.
Határozza meg a sorozat első tagját! Megoldását részletezze!

MR-412 / 8.

Az alábbi ábrán a [–3; 2] intervallumon értelmezett $x \mapsto - 2 \cdot |x - 1| + 3$ függvény grafikonja látható.
Adja meg a függvény értékkészletét!

MR-523 / 8.

Egy számtani sorozat negyedik tagja 7, ötödik tagja –5.
Határozza meg a sorozat első tagját! Megoldását részletezze!

MR-397 / 9.

Egy fiókban néhány sapka van. Tekintsük a következő állítást:
„A fiókban minden sapka fekete.”
Válassza ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a fentinek!

A: A fiókban minden sapka fehér.
B: A fiókban nincs fekete sapka.
C: A fiókban van olyan sapka, amely nem fekete.
D: A fiókban nem minden sapka fekete.

MR-413 / 9.

A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb. A dobozt színültig töltik tejjel.
Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm? Megoldását részletezze!

MR-790 / 9.

Egy bomlási folyamatban a radioaktív részecskék száma kezdetben 6·10²³, amely érték percenként az előző érték századrészére csökken.

Számítsa ki a radioaktív részecskék számát 10 perc elteltével!

MR-415 / 10.

Oldja meg az alábbi egyenletet a $[0; 2 π]$ intervallumon!

$\cos x = 0, 5$

MR-525 / 10.

Ábrázolja a [–3; 6] intervallumon értelmezett $x \to |x - 2| - 3$ függvényt!

MR-416 / 11.

Ábrázolja az alábbi számegyenesen az |x|

MR-387 / 12.

Az osztály lottót szervez, melyben az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül húznak ki hármat. Tamás a 2, 3, 5 számokat jelöli be a szelvényen.
Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Tamásnak telitalálata lesz!

MR-368 / 12.

Határozza meg a következő kifejezések igazságértékét:

$p \equiv \frac{3 + 2 x}{3} - \frac{2 - 3 x}{4} = \frac{29}{24}; x = 0, 5$

$q \equiv 3 (5 - y) - 2 (y - 1) = 1 + 3 y; y = 2$ Ezt követően határozza meg az alábbi két kifejezés igazságértékét is:

a) $(p \lor q) \land p$

b) $(p \land q) \lor p$

MR-417 / 12.

Egy kockával kétszer egymás után dobunk.
Adja meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám összege 7 lesz! Válaszát indokolja!

MR-527 / 12.

MR-358 / 13.

Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$7 - 2 (x + 5) = \frac{x + 6}{4} + \frac{x + 2}{2}$

MR-545 / 13.

Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény:

$f : x \mapsto {(x - 1)}^{2} - 4$

a) Számítsa ki az f függvény x = – 5 helyen felvett helyettesítési értékét!
b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét!
c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

${(x - 1)}^{2} - 4 = - x - 1$

MR-419 / 14.

Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, átfogója 17 cm hosszú.

a) Számítsa ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát!
b) Hány cm² a háromszög körülírt körének területe?

A DEF háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és az átfogója 13,6 cm hosszú.

c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének?

MR-529 / 14.

Az ABCD húrtrapéz oldalainak hossza: AB = 5 cm, BC = 2,5 cm, CD = 2 cm és DA = 2,5 cm.

a) Számítsa ki a trapéz szögeit!
b) Határozza meg az ABC és ACD háromszögek területének arányát!
c) A trapéz belső szögeit egy-egy 5 mm sugarú körívvel jelöltük. Számítsa ki a négy körív hosszának összegét!

MR-227 / 15.

MR-398 / 15.

A kereskedelemmel foglalkozó cégek között több olyan is van, amely állandóan emelkedő fizetéssel jutalmazza a dolgozók munkavégzését.

Péter munkát keres, és két cég ajánlata közül választhat:
I. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 5000 Ft-tal emelnek négy éven át.
II. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 2%-kal emelnek négy éven át.

a) Melyik ajánlatot válassza Péter, ha tervei szerint négy évig a választott munkahelyen akar dolgozni, és azt az ajánlatot szeretné választani, amelyik a négy év alatt nagyobb összjövedelmet kínál?

A Péter szerződésében szereplő napi 8 óra munkaidő rugalmas, azaz lehetnek olyan napok, amikor 8 óránál többet, és olyanok is, amikor kevesebbet dolgozik. 6 óránál kevesebbet, illetve 10 óránál többet sosem dolgozik egy nap. Az alábbi táblázatban Péter januári munkaidő-kimutatásának néhány adata látható.

b) Számítsa ki a táblázatból hiányzó két adatot, ha tudjuk, hogy január hónap 22 munkanapján Péter átlagosan naponta 8 órát dolgozott!

Napi munkaidő (óra)

Hány munkanapon dolgozott ennyi órát?

MR-420 / 15.

Az alábbi kördiagram egy balatoni strandon a júliusban megvásárolt belépőjegyek típusának eloszlását mutatja.

Júliusban összesen 16 416 fő vásárolt belépőjegyet. A belépőjegyek árát az alábbi táblázat tartalmazza.

gyerek, diák	350 Ft/fő
felnőtt	700 Ft/fő
nyugdíjas	400 Ft/fő

a) Mennyi volt a strand bevétele a júliusban eladott belépőkből?
A tapasztalatok szerint júliusban folyamatosan nő a strandolók száma. Ezért a strandbüfében bevált rendszer, hogy a július 1-jei megrendelést követően július 2-től kezdve július 31-ig minden nap ugyanannyi literrel növelik a nagykereskedésből megrendelt üdítő mennyiségét.
A könyvelésből kiderült, hogy július 1-jén, 2-án és 3-án összesen 165 litert, július 15-én pedig 198 litert rendeltek.
b) Hány liter üdítőt rendeltek júliusban összesen?

MR-391 / 16.

Egy hatkérdéses tesztben minden kérdésnél a megadott három lehetőség (A, B és C) közül kellett kiválasztani a helyes választ. A tesztet tíz diák írta meg. Az alábbi diagram az egyes feladatokra adott válaszok eloszlását mutatja.

A teszt értékelésekor minden helyes válaszra 1 pont, helytelen válaszra pedig 0 pont jár. Tudjuk, hogy a tíz diák összesen 35 pontot szerzett.
a) Határozza meg az összes jó és az összes rossz válasz számát, és készítsen ezekről kördiagramot!
b) Igaz-e, hogy minden kérdésre az a jó válasz, amit a legtöbben jelöltek be? Válaszát indokolja!

Éva, János és Nóra is megírták ezt a tesztet. Egyetlen olyan kérdés volt, amelyre mindhárman jól válaszoltak. Három olyan kérdés volt, amit Éva és János is jól válaszolt meg, kettő olyan, amire János és Nóra is, és egy olyan, amire Nóra és Éva is jó választ adott.
Két olyan kérdés volt, amelyet csak egyvalaki oldott meg helyesen hármuk közül.
c) Hány pontot szereztek ők hárman összesen ezen a teszten?

Az egyik diák nem készült fel a tesztre, válaszait tippelve, véletlenszerűen adja meg.
d) Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy jó válasza a tesztben?

MR-421 / 16.

Adott két pont a koordinátasíkon: A(2; 6) és B(4; –2).
a) Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
b) Írja fel az A ponton átmenő, B középpontú kör egyenletét!
Adott az $y = 3 x$ egyenletű egyenes és az {formula_3698} egyenletű kör.
c) Adja meg koordinátáikkal az egyenes és a kör közös pontjait!

MR-229 / 17.

MR-392 / 17.

Az ABC háromszög két csúcsa A(–3; –1) és B(3; 7), súlypontja az origó.

a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit!

b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, mely –3-hoz –1-et és 3-hoz 7-et rendel! (A hozzárendelési utasítást alakban $\sqrt{x}$ adja meg!)

c) Adott az A(–3; –1) és a B(3; 7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz!

MR-532 / 17.

Az ABC háromszög két csúcsa A(–3; –1) és B(3; 7), súlypontja az origó.

a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit!

b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, mely –3-hoz –1-et és 3-hoz 7-et rendel! (A hozzárendelési utasítást alakban $\sqrt{x}$ adja meg!)

c) Adott az A(–3; –1) és a B(3; 7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz!

MR-230 / 18.

MR-423 / 18.

Egy 20 fős társaság tagjait az április havi szabadidős tevékenységeikről kérdezték. Mindenki három eldöntendő kérdésre válaszolt (igennel vagy nemmel).
I. Volt-e moziban?
II. Olvasott-e szépirodalmi könyvet?
III. Volt-e koncerten?

A válaszokból kiderült, hogy tizenketten voltak moziban, kilencen olvastak szépirodalmi könyvet, és négy fő járt koncerten. Öten voltak, akik moziban jártak és szépirodalmi könyvet is olvastak, négyen pedig moziban és koncerten is jártak. Hárman mindhárom kérdésre igennel válaszoltak.
a) Hány olyan tagja van a társaságnak, aki mindhárom kérdésre nemmel válaszolt?

A társaság 20 tagja közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.
b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legalább az egyikük volt moziban április folyamán!
Attól a kilenc személytől, akik olvastak áprilisban szépirodalmi könyvet, azt is megkérdezték, hogy hány könyvet olvastak el a hónapban. A válaszok (pozitív egész számok) elemzése után kiderült, hogy a kilenc szám (egyetlen) módusza 1, mediánja 2, átlaga 9 16, terjedelme pedig 2.
c) Adja meg ezt a kilenc számot!

MR-533 / 18.

Zsófi gyertyákat szeretne önteni, hogy megajándékozhassa a barátait.
Öntőformának egy négyzet alapú szabályos gúlát választ, melynek alapéle 6 cm, oldaléle 5 cm hosszúságú. Egy szaküzletben 11 cm oldalú, kocka alakú tömbökben árulják a gyertyának való viaszt. Ezt megolvasztva és az olvadt viaszt a formába öntve készülnek a gyertyák. (A számítások során tekintsen el az olvasztás és öntés során bekövetkező térfogatváltozástól.)
a) Legfeljebb hány gyertyát önthet Zsófi egy 11 cm oldalú, kocka alakú tömbből?

Zsófi az elkészült gúla alakú gyertyák lapjait szeretné kiszínezni. Mindegyik lapot (az alaplapot és az oldallapokat is) egy-egy színnel, kékkel vagy zölddel fogja színezni.
b) Hányféle különböző gyertyát tud Zsófi ilyen módon elkészíteni?
(Két gyertyát különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők egymásba.)

Zsófi a gyertyák öntéséhez három különböző fajta „varázskanócot” használ. Mindegyik fajta „varázskanóc” fehér színű, de meggyújtáskor (a benne lévő anyagtól függően) az egyik fajta piros, a másik lila, a harmadik narancssárga lánggal ég. Zsófi hétfőn egy dobozba tesz 6 darab gyertyát, mindhárom fajtából kettőt-kettőt. Keddtől kezdve minden nap véletlenszerűen kivesz egy gyertyát a dobozból, és meggyújtja.

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg!

MR-371 / 31.

Adott az S halmaz: undefined. Határozza meg az A és B halmazokat,

undefined $B = \{y | y \in S \land (\frac{y^{2}}{2} - y) \in S\}$

majd a következő halmazokat: undefined

MR-162 / 156.

MR-249 / 249.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváljtát:

$y = \ln \sin^{2} x$

MR-273 / 273.

Határozza meg az alábbi integrál értékét:

$\int (9 x^{2} + 6 x + 5) d x$

MR-302 / 302.779

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 29 \\ x + y = 7 \end{matrix}$

MR-334 / 334.

Oldja meg a következő egyenletet:

$\log_{10} (x^{2} + 19) - \log_{10} (x - 8) = 2$

MR-343 / 343.

Számítsa ki a paralelogramma területét, ha magasságai 3 és $2 \sqrt{3}$ cm, az álatluk bezárt szög pedig 60°!

MR-349 / 349.

A rombusz terölete 100 cm², hegyesszöge pedig 30°. Számolja ki a rombusz átlóit!

MR-366 / 366.

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

$x^{2} - x - 2 < 0$

MR-478 / 478.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

$\frac{x + 7}{4} - \frac{x - 1}{4}$

MR-367 / 588.

Az $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorok közötti szög $ψ = \frac{π}{6}$ . Számolja ki a $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ és $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ vektorok által bezárt szöget, ha $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ és $|\vec{b}| = 1$

MR-200 / 1069.a

Oldja meg alábbi exponenciális egyenletet:

$2^{x - 3} = 16$

MR-202 / 1070.a

Oldja meg alábbi exponenciális egyenletet:

$16^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{x}{2}}$

MR-204 / 1071.b

Oldja meg alábbi exponenciális egyenletet:

$4^{x + 1} + 4^{x} = 320$

MR-205 / 1073.

Oldja meg alábbi exponenciális egyenletet:

$2^{x - 1} - 2^{x - 3} = 3^{x - 2} - 3^{x - 3}$

MR-208 / 1076.a

$5^{x} - 5^{3 - x} = 20$

MR-242 / 1175.

Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

$\cos^{2} x - \cos^{4} x + \sin^{4} x$