392/HK16. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-392 / 17. példa

Az ABC háromszög két csúcsa A(–3; –1) és B(3; 7), súlypontja az origó.

a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit!

b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, mely –3-hoz –1-et és 3-hoz 7-et rendel! (A hozzárendelési utasítást alakban $\sqrt{x}$ adja meg!)

c) Adott az A(–3; –1) és a B(3; 7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2016 május 3.] - 17..)

Algebra → Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek → Exponenciális egyenletek

a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit!

S (0, 0); A (- 3, - 1); B (3, 77)

1.svg

x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}

0 = \frac{- 3 + 3 + x_{C}}{3}; 0 = \frac{- 1 + 7 + y_{C}}{3}

0 \cdot 3 = - 3 + 3 + x_{C}

0 \cdot 3 = - 1 + 7 + y_{C}

0 = 0 + x_{C}

0 = 6 + y_{C}

x_{C} = 0

y_{C} = - 6

C (x_{C}, y_{C}) = C (0, - 6)

2.svg

b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, mely –3-hoz –1-et és 3-hoz 7-et rendel!

- 3 \to - 1 : 3 \to 7

y = a x + b

(1) - 3 \cdot a + b = - 1

(2) 3 \cdot a + b = 7

(1) + (2) - 3 a + b + 3 a + b = - 1 + 7

2 b = 6

b = 33

(2) 3 a + 3 = 7

3 a = 7 - 3

3 a = 4

a = \frac{4}{3}

y = \frac{4}{3} x + 33

c) Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz!

A kérdéses pontot P-vel jelölve (a Thalész-tétel megfordítása miatt) az ABP háromszög köré írt körének átmérője az AB szakasz.

3.svg

A kör és az x tengely metszéspontja a P pont.

A kör középpontja az AB szakasz felezőpontja:

x_{K} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 3 + 3}{2} = 0

y_{K} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3

K (0, 3)

A kör sugara r:

r = B K = \sqrt{{(y_{B} - y_{K})}^{2} + {(x_{B} - x_{K})}^{2}}

r = B K = \sqrt{{(7 - 3)}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

A háromszög köré írható kör egyenlete:

(3) x^{2} + (y - 3)^{2} = 25

Az x tnegyely egyenlete:

(4) y = 0

(4) \to (3) x^{2} + (0 - 3)^{2} = 25

x^{2} + 9 = 25

x^{2} = 25 - 9 = 16

x_{1, 2} = \pm \sqrt{16} = \pm 4

P_{1} (4, 0); P_{2} (- 4, 0)

C (0, - 6) y = \frac{4}{3} x + 3 P_{1} (4, 0); P_{2} (- 4, 0)

MathReference - Példatár