Deriválás

Taylor-sor

Kulcsszavak: Taylor-sor, Lagrange-féle maradéktag, Cauchy-féle maradéktag

Amennyiben az f(x) függvény végtelenszer deriválható, akkor a függvény a pont körüli Taylor-sora:

Tx=n=0f(n)an!x-an

vagy egy véges sorozat és a maradéktagon keresztül

Tx=k=0n-1f(k)ak!x-ak+Rn

Lagrange-féle maradéktag

Rn=f(n)ξx-ann!

Cauchy-féle maradéktag

Rn=f(n)ξx-ξn-1x-an-1!

Néhány elemi függvény Taylor-sora

Exponenciális és logaritmusfüggvény

ex=n=0xnn!  ; x
ln1+x=n=0-1nn+1xn+1  ; x<1

Mértani sor

11-x=n=0xn  ; x<1
xm1-x=n=mxn  ; x<1

Binomiális sor

1+xα=n=0αnxn  ; x<1 α

Trigonometrikus függvények

sin x=n=0-1n2n+1!x2n+1  ;  x
cos x=n=0-1n2n!x2n  ;  x

Hiperbolikus függvények

sh x=n=012n+1!x2n+1  ;  x
ch x=n=012n!x2n  ;  x