Valószínűség

Diszkrét valószínűségi változó - Eloszlásfüggvény

Kulcsszavak: diszkrét valószínűségi változó, eloszlásfüggvény

Valószínűségi változó ξ

Ha az eseménytér elemeihez egy-egy számértéket rendelünk, az így kapott véletlentől (véletlen elemi eseményektől) függő változót valószínűségi változónak (véletlen, sztochasztikus változónak) nevezzük.

Példa : Dobáljunk fel két kockát! Adjuk össze a dobott számokat!
Eseménytér:
lehetséges kimenetelek, összesen 6x6=36:
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6},
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Valszínűségi változó ξ:
a kockapár által dobott számok összege, melynek lehetséges értékei:
ξ ϵ{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Eloszlásfüggvény

Egy valószínűségi változó ξ eloszlásfüggvényének nevezzük azt a F(x) függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy az  valószínűségi változó ξ milyen valószínűséggel vesz fel x-nél kisebb értékeket:

Fx=Pξ<x

A valószínűségi változó ξ értékeinkek megfelelő események:
ξ=2: {(1,1)}, összesen 1 eset
ξ=3: {(1,2),(2,1)}, összesen 2 eset
ξ=4: {(1,3),(3,1),(2,2)}, összesen 3 eset
ξ=5: {(1,4),(4,1),(2,3),(2,3)}, összesen 4 eset
ξ=6: {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2), (3,3)}, összesen 5 eset
ξ=7: {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}, összesen 6 eset
ξ=8: {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3), (4,4)}, összesen 5 eset
ξ=9: {(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)}, összesen 4 eset
ξ=10: {(4,6),(6,4),(5,5)}, összesen 3 eset
ξ=11: {(5,6),(6,5)}, összesen 2 eset
ξ=12: {(6,6)}, összesen 1 eset

ξ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(ξ)
136
236
336
436
536
636
536
436
336
236
136

 Valószínűségi változó

Az eloszlásfüggvény F(x) nagysága x különféle értékeire:

F(x=1)=P(ξ<1)=0
F(x=2)=P(ξ<2)=0
F(x=3)=P(ξ<3)=136=0.03
F(x=4)=P(ξ<4)=136+236=336=0.08
F(x=5)=P(ξ<5)=136+236+336=636=0.17
F(x=6)=P(ξ<6)=136+236+336+436=1036=0.28
F(x=7)=P(ξ<7)=136+236+336+436+536=1536=0.42
F(x=8)=P(ξ<8)=136+236+336+436+536+636=2136=0.58
F(x=9)=P(ξ<9)=136+236+336+436+536+636+536=2636=0.72
F(x=10)=P(ξ<10)=136+236+336+436+536+636+536+436=3036=0.83
F(x=11)=P(ξ<11)=136+236+336+436+536+636+536+436+336=3336=0.92
F(x=12)=P(ξ<12)=136+236+336+436+536+636+536+436+336+236=3536=0.97
F(x=13)=P(ξ<13)=136+236+336+436+536+636+536+436+336+236+136=3636=1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
F(x)
0
0
0.03
0.08
0.17
0.28
0.42
0.58
0.72
0.83
0.92
0.97
1

Valószínűségi változó - Eloszlásfüggvény