912/IMO. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-912 / 6. példa

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a
H alábbi részhalmazai:
M = {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények};
K = {az értelmezési tartományukon konvex függvények};
A = {alulról korlátos függvények}.

a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe!

$f : ℝ \to ℝ, x \mapsto \sin x$

$g : ℝ ∖ \{0\} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{x}$

$h : ℝ \to ℝ, x \mapsto 2^{x}$

$i : ℝ^{+} \cup \{0\} \to ℝ, x \mapsto \sqrt{x}$

b) Jelölje az ábrán satírozással a $(K \cap A) ∖ M$ halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan $j$ függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik!

c) Határozza meg az $ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2} + b \cdot x + c$ f üggvény $b$ és $c$ paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek $x = 2$ -ben minimumhelye van, és a minimum értéke $- 1$ .

d) Határozza meg azokat a $p \in [0; 2 π]$ értékeket, amelyekre $\int_{0}^{p} \sin x d x = \frac{1}{2}$ .

Összes példa

Forrás: Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2025 május 6.] - 6..)

Gondolkodási műveletek → Halmazok → Műveletek halmazokkal

a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe!

$f : ℝ \to ℝ, x \mapsto \sin x$

$g : ℝ ∖ \{0\} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{x}$

$h : ℝ \to ℝ, x \mapsto 2^{x}$

$i : ℝ^{+} \cup \{0\} \to ℝ, x \mapsto \sqrt{x}$

$f : ℝ \to ℝ, x \mapsto s i n x A$

$g : ℝ ∖ \{0\} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{x}$

$h : ℝ \to ℝ, x \mapsto 2^{x} M K A$

$i : ℝ^{+} \cup \{0\} \to ℝ, x \mapsto \sqrt{x} M A$

b) Jelölje az ábrán satírozással a $(K \cap A) ∖ M$ halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan $j$ függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik!

Fel kell írni egy olyan függvényt, ami nem monoton növekvő, alulról korlátos és konvex. Ilyen például:

$f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}$

$f (x) = x^{2} + b x + c$

A szélsőérték (minimum) meghatározásának legegyszerűbb módja, ha a függvény első deriváljtát kiegyenlítjük nullával.

$f^{'} (x) = 2 \cdot x + b = 0$

$f^{'} (2) = 2 \cdot 2 + b = 0$

$4 + b = 0$

$b = - 4$

$f (2) = 2^{2} + b \cdot 2 + c = - 1$

$f (2) = 2^{2} + (- 4) \cdot 2 + c = - 1$

$4 - 8 + c = - 1$

$c = 8 - 4 - 1$

$c = 3$

$b = - 4; c = 3$

d) Határozza meg azokat a $p \in [0; 2 π]$ értékeket, amelyekre $\int_{0}^{p} \sin x d x = \frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{p} \sin x d x = \frac{1}{2}$

${[- \cos x]}_{0}^{p} = \frac{1}{2}$

$- \cos p - (- \cos 0) = \frac{1}{2}$

$- \cos p + 1 = \frac{1}{2}$

$- \cos p = \frac{1}{2} - 1$

$- \cos p = - \frac{1}{2}$

$- \cos p = - \frac{1}{2} | \cdot (- 1)$

$\cos p = \frac{1}{2}$

$p_{1} = \frac{π}{3}$

A trigonometrikus függvényeknél egy körön belül $[0, 2 π]$ minden szögre két megoldás létezik, ezért a második megoldás a koszinusz esetében:

$\cos α = \cos (2 π - α)$

$p_{2} = 2 π - p_{1}$

$p_{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

$p_{2} = \frac{6 π}{3} - \frac{π}{3}$

$p_{2} = \frac{5 π}{3}$

$p_{1} = \frac{π}{3}; p_{2} = \frac{5 π}{3}$

MathReference - Példatár