909/IMO. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-909 / 3. példa

Az $\{a_{n}\}$ sorozat tagjaira $n \geq 2$ esetén az $a_{n} = a_{n - 1} + n$ összefüggés teljesül. Egy négyszög belső szögei (fokban mérve) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ és $a_{4}$ .
a) Határozza meg a négyszög belső szögeinek nagyságát!

Az $A B C D$ négyszög oldalai, átlói és szögei közül ismertek a következők:

$A B = 18 c m, A D = 15 c m, A C = 20 c m, D A B ∢ = 90 °, A B C ∢ = 70 °$ .

b) Határozza meg a négyszög $B C$ és $C D$ oldalának hosszát!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2025 május 6.] - 3..)

Algebra → Sorozatok → Számtani sorozat

$a_{n} = a_{n - 1} + n$

$a_{2} = a_{2 - 1} + 2$

$a_{2} = a_{1} + 2$

$a_{3} = a_{2} + 3$

$a_{4} = a_{3} + 4$

Minden tagot fejezzünk ki az első tagon keresztül:

$a_{3} = a_{2} + 3$

$a_{3} = a_{1} + 2 + 3$

$a_{3} = a_{1} + 5$

$a_{4} = a_{3} + 4$

$a_{4} = a_{1} + 5 + 4$

$a_{4} = a_{1} + 9$

Egy négyszög belső szögeinek összege 360°. Ez alapján felírható:

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 360 °$

$a_{1} + (a_{1} + 2) + (a_{1} + 5) + (a_{1} + 9) = 360 °$

$4 \cdot a_{1} + 16 = 360$

$4 \cdot a_{1} = 344$

$a_{1} = \frac{434}{4}$

$a_{1} = 86$

$a_{2} = a_{1} + 2 = 86 + 2$

$a_{2} = 88$

$a_{3} = a_{1} + 5 = 86 + 5$

$a_{3} = 91$

$a_{4} = a_{1} + 9 = 86 + 9$

$a_{4} = 95$

$a_{1} = 86 °, a_{2} = 88 °, a_{3} = 91 °, a_{4} = 95 °$

Az $A B C D$ négyszög oldalai, átlói és szögei közül ismertek a következők:

$A B = 18 c m, A D = 15 c m, A C = 20 c m, D A B ∢ = 90 °, A B C ∢ = 70 °$ .

b) Határozza meg a négyszög $B C$ és $C D$ oldalának hosszát!

Az ABC háromoszögön alkalmazzuk a koszinusztételt:

$20^{2} = 18^{2} + x^{2} - 2 \cdot 18 \cdot x \cdot \cos 70 °$

$400 = 324 + x^{2} - 36 \cdot x \cdot \cos 70 °$

$324 + x^{2} - 36 \cdot x \cdot \cos 70 ° + 324 - 400 = 0$

$x^{2} - 36 \cdot x \cdot \cos 70 ° - 76 = 0$

$x^{2} - 12, 313 \cdot x - 76 = 0$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 12, 313) \pm \sqrt{{(- 12, 313)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 1}$

$x_{1, 2} = \frac{12, 313 \pm \sqrt{455, 610}}{2}$

$x_{1} \approx 16, 83$

$x_{2} \approx - 4, 52$

Az egyetlen elfogadható megoldás, mivel az oldal hosszúságáról van szó:

$x \approx 16, 83$

Alkalmazzuk most a szinusztételt az ABC hároszögön:

$\frac{\sin α}{\sin 70 °} = \frac{16, 83}{20}$

$\sin α = \sin 70 ° \cdot \frac{16, 83}{20}$

$\sin α = 0, 7908$

$α = 52, 26 °$

$α + β = 90 °$

$β = 90 ° - α$

$β = 90 ° - 52, 26 °$

$β = 37, 74 °$

Most az ACD háromoszögön alkalmazzuk a koszinusztételt:

$y^{2} = 20^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos β$

$y^{2} = 20^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 37, 74 °$

$y^{2} \approx 10, 52$

$y \approx \sqrt{10, 52}$

$y \approx 12, 27$

$x = B C \approx 16, 83 c m; y = C D \approx 12, 27 c m$

MathReference - Példatár