MR-715 / 17.) példa

Az ABCD trapéz AB alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú.

a) Igazolja, hogy a trapéz A csúcsánál lévő belső szög 60°-os!
b) Számítsa ki a BD átló hosszát!

A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.
c) Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát!

Egy trapéz alakú területre szőlőt telepítettek, az első sorba 120 szőlőtőkét, az utolsóba 240-et. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több szőlőtőke került, mint az előzőbe. Összesen 7380 darab szőlőtőkét ültettek el.

d) Az első 20 sorba kizárólag olaszrizlingtőke került, és máshova ebből a fajtából nem ültettek. Számítsa ki a telepített olaszrizlingtőkék számát!

a) Igazolja, hogy a trapéz A csúcsánál lévő belső szög 60°-os!

A leírás alapján egyértelmű hogy egy szimetrikus, azaz egyenlő szárú trapézról van szó.

cos α =612=12

α=60°

b) Számítsa ki a BD átló hosszát!

122=62+h2

h2=122-62=144-36=108

x2=h2+12+62

x2=122-62+182

x2=432

x=BD=43220,8 cm

A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.

c) Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát!

A keletkező test egy csonkakúp. A csonkakúp alapkörének sugara R=12 cm, fedőkörének sugara r=6 cm.

A csonkakúp magassága h:

h=108

V=h·π3·R2+R·r+r2=108·π3·122+12·6+62

V2742 cm3

Egy trapéz alakú területre szőlőt telepítettek, az első sorba 120 szőlőtőkét, az utolsóba 240-et. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több szőlőtőke került, mint az előzőbe. Összesen 7380 darab szőlőtőkét ültettek el.

d) Az első 20 sorba kizárólag olaszrizlingtőke került, és máshova ebből a fajtából nem ültettek. Számítsa ki a telepített olaszrizlingtőkék számát!

Az egyes sorokba kerülő szőlőtőkék darabszámai egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai, amelynek első tagja a1=120, n-edik tagja an=240.

A feladat szövege alapján a sorozat első n tagjának összege: Sn= 7380

Sn=a1+a22·n=120+2402·n=7380

180·n=7380

n=7380180

n=41

an=a1+n-1·d

240=120+41-1·d

240=120+40·d

40·d=240-120

40·d=120

d=12040

d=3

A kérdés valójában az, hogy hány olaszrizling tőkét ültettek az első 20 sorba.

S20=2a1+20-1·d2

S20=2·120+20-1·32·20=240+572·20=2972·20

S20=2970