Jelöljük az alap éleit $a$-val, a magasságot $b$-vel. Ekkor a tető nélküli doboz felszíne:

$$A=a^2+4·a·b$$

$$300=a^2+4·a·b$$

$$300=4·a^2+3·4·a·b$$

$$300=4·a^2+12·a·b$$

A feladatban adott hogy a doboz alapéle $a=6 dm$

$$300=4·6^2+12·6·b$$

$$300=4·36+72·b$$

$$300=144+72·b$$

$$300-144=72·b$$

$$156=72·b$$

$$72·b=156$$

$$b=\frac{156}{72}$$

$$b=\frac{78}{36}$$

$$b=\frac{39}{18}$$

$$b=\frac{300-4·a^2}{12·a}=\frac{300-4·5^2}{12·5}$$

$$300=4·a^2+12·a·b$$

$$300-4·a^2=12·a·b$$

$$12·a·b=300-4·a^2$$

$$b=\frac{300-4·a^2}{12·a}$$

$$V=a^2·b$$

$$V=a^{\bcancel{2}}·\frac{300-4·a^2}{12·\bcancel{a}}$$

$$V=\frac{a·300-4·a^3}{12}$$

$$V=\frac{300}{12}·a-\frac{4}{12}·a^3$$

$$V\left(a\right)=25·a-\frac{1}{3}·a^3$$

A fenti függvénynek kell meghatározni a szélsőértékét. A szélsőérték feltétele alapján:

$$V^{\text{'}}\left(a\right)=0$$

$$V^{\text{'}}\left(a\right)=25-\frac{1}{3}·3·a^2$$

$$V^{\text{'}}\left(a\right)=25-a^2$$

$$25-a^2=0$$

$$25=a^2$$

$$a=\sqrt{25}$$

$$a=\pm 5$$

Mivel az alapél hosszúságáról van szó, ezért a $a=-5$ negatív ererdményt elvetjük. Az egyetlen helyes megoldás:

$$b=\frac{300-4·a^2}{12·a}=\frac{300-4·5^2}{12·5}$$

$$b=\frac{300-4·25}{60}=\frac{200}{60}=\frac{20}{6}$$

Meg kell még győződni arról, hogy ez a szélsőérték valóban maximum és nem mininum. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megtenni:

$$V^{\text{'}\text{'}}\left(a\right)=-2·a^2$$

$$V^{\text{'}\text{'}}\left(5\right)=-2·5^2$$

$$V^{\text{'}\text{'}}\left(5\right)=-50$$

$$V^{\text{'}\text{'}}\left(5\right)=-50 <0\Rightarrow V\left(5\right)\to MAX$$

Tegyük fel először, hogy az alaplap kék. Lehet minden oldallap piros, vagy minden oldallap kék, ez 1-1 lehetőség.

Lehet egy vagy három piros oldallap (vagy három kék és egy piros), ez is 1-1 lehetőség. (Teljesen mindegy hogy például hol van az egy piros és hol a 3 kék ez csak egy változatnak számít)

Lehet két piros oldallap, ez 2 lehetőség (vagy egymás mellett, vagy egymással szemben vannak).

Mivel ugyanígy $\left(2+2+2=\right) 6$ lehetőség van akkor is, ha az alaplap piros, ezért összesen $12$ megfelelő színezés van.