908/IMO. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-908 / 2. példa

Egy kis szigeten élő állatfajok populációinak egyedszámát egy modell szerint (jó közelítéssel) a következő képlet adja meg:

$P (t) = \frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c t}}$

A képletben $P (t)$ az adott faj pulációjának egyedszáma a vizsgálat kezdetétől számított t év elteltével, $E$ , $k$ és $c$ pedig az adott faj populációjára jellemző pozitív állandók: $E$ a sziget eltartóképessége (a becsült maximális egyedszám, amit a sziget el tud tartani), $k$ a populáció kezdeti méretétől, $c$ pedig a populáció növekedési sebességétől függő állandó.

a) Egy emlősfajra jellemző állandók értéke $k = 1, 5$ és $c = 0, 05$ . Tudjuk, hogy a vizsgálat kezdetétől számított $8$ év elteltével $140$ egyedből áll a faj populációja.
Határozza meg a szigetnek az erre az emlősfajra jellemző eltartóképességét!

b) Egy rágcsálófaj esetén a sziget eltartóképessége $1500$ egyed.
Határozza meg az erre a populációra jellemző $k$ és c állandók értékét, ha a vizsgálat kezdetekor $200$ , öt évvel később pedig $350$ egyedből állt a populáció!

c) Igazolja, hogy egy populáció $P (t)$ egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2025 május 6.] - 2..)

Matematikai analízis → Nevezetes függvények

$k = 1, 5; c = 0, 05; t = 8; P (8) = 140;$

$P (t) = \frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}}$

$140 = \frac{E}{1 + 1, 5 \cdot 2^{- 0, 05 \cdot 8}}$

$140 = \frac{E}{2, 136787425}$

$E = 140 \cdot 2, 136787425$

$E \approx 300$

$P (t) = \frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}}$

$200 = \frac{1500}{1 + k \cdot 2^{- c \cdot 0}}$

$200 = \frac{1500}{1 + k \cdot 1}$

$200 (1 + k) = 1500$

$200 + 200 k = 1500$

$200 k = 1500 - 200$

$200 k = 1300$

$k = \frac{1300}{200}$

$k = 6, 5$

$350 = \frac{1500}{1 + 6, 5 \cdot 2^{- 5 \cdot c}}$

$1 + 6, 5 \cdot 2^{- 5 \cdot c} = \frac{1500}{350}$

$1 + 6, 5 \cdot 2^{- 5 \cdot c} = 4, 29$

$6, 5 \cdot 2^{- 5 \cdot c} = 4, 29 - 1$

$6, 5 \cdot 2^{- 5 \cdot c} = 3, 29$

$2^{- 5 \cdot c} = \frac{3, 29}{6, 5}$

$2^{- 5 \cdot c} = 0, 506$

$2^{- 5 \cdot c} = 0, 506 | l g ()$

$l g 2^{- 5 \cdot c} = l g 0, 506$

$- 5 \cdot c \cdot l g 2 = l g 0, 506$

$- 5 \cdot c = \frac{l g 0, 506}{l g 2}$

$c = - \frac{l g 0, 506}{5 \cdot l g 2}$

$c \approx 0, 197$

c) Igazolja, hogy egy populáció $P (t)$ egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

$P (t) = \frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}} \leq E$

$\frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}} \leq E$

$E \leq E (1 + k \cdot 2^{- c \cdot t})$

$\frac{E}{E} \leq 1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}$

$1 \leq 1 + k \cdot 2^{- c \cdot t}$

$1 - 1 \leq k \cdot 2^{- c \cdot t}$

$0 \leq k \cdot 2^{- c \cdot t}$

$k \cdot 2^{- c t} > 0$

$k > 0 \land 2^{- c t} > 0 \Rightarrow k \cdot 2^{- c t} > 0$

MathReference - Példatár