797/HK15. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-797 / 16. példa

Egy idén megjelent iparági előrejelzés szerint egy bizonyos alkatrész iránti kereslet az elkövetkező években emelkedni fog, minden évben az előző évi kereslet 6%-ával. (A kereslet az adott termékből várhatóan eladható mennyiséget jelenti.)

a) Várhatóan hány százalékkal lesz magasabb a kereslet 5 év múlva, mint idén?

Az előrejelzés szerint ugyanezen alkatrész ára az elkövetkező években csökkeni fog, minden évben az előző évi ár 6%-ával.

b) Várhatóan hány év múlva lesz az alkatrész ára az idei ár 65%-a?

Egy cég az előrejelzésben szereplő alkatrész eladásából szerzi meg bevételeit. A cég vezetői az elkövetkező évek bevételének tervezésénél abból indulnak ki, hogy a fentiek szerint a kereslet évente 6%-kal növekszik, az ár pedig évente 6%-kal csökken.

c) Várhatóan hány százalékkal lesz alacsonyabb az éves bevétel 8 év múlva, mint idén?

A kérdéses alkatrész egy forgáskúp alakú tömör test. A test alapkörének sugara 3 cm, alkotója 6 cm hosszú.

d) Számítsa ki a test térfogatát!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2015. május 5.] - 16..)

Összetett feladatok

a) Várhatóan hány százalékkal lesz magasabb a kereslet 5 év múlva, mint idén?

A kereslet minden évben várhatóan az előző évi kereslet 1,06-szorosára változik

5 év múlva a megnövekedett kereslet:

$x = 1, 065^{5}$

$x \approx 1, 34$

$x \approx 1, 34 \cdot 100 [%]$

$x \approx 34 [%]$

Az előrejelzés szerint ugyanezen alkatrész ára az elkövetkező években csökkeni fog, minden évben az előző évi ár 6%-ával.

b) Várhatóan hány év múlva lesz az alkatrész ára az idei ár 65%-a?

Jelöljük az évek számát n-el:

$0, 94^{n} = 0, 65$

$0, 94^{n} = 0, 65 | l g ()$

$l g (0, 94^{n}) = l g 0, 65$

$n \cdot l g 0, 94 = l g 0, 65$

$n = \frac{l g 0, 65}{l g 0, 94}$

$n \approx 6, 96$

Várhatóan 7 év múlva lesz az ár a jelenlegi ár 65%-a

c) Várhatóan hány százalékkal lesz alacsonyabb az éves bevétel 8 év múlva, mint idén?

A bevételt a kereslet és az ár szorzatából kapjuk:

8 év múlva a jelenlegi bevétel tehát:

$y = {(1, 06 \cdot 0, 94)}^{8} \approx 0, 972$

$1 - 0, 972 = 0, 028$

$0, 028 \cdot 100 [%] = 2, 8 %$

$2, 8 %$

A kérdéses alkatrész egy forgáskúp alakú tömör test. A test alapkörének sugara 3 cm, alkotója 6 cm hosszú.

d) Számítsa ki a test térfogatát!

$6^{2} = H^{2} + 3^{2}$

$36 = H^{2} + 9$

$H^{2} = 36 - 9$

$H = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}$

$H = 3 \sqrt{3}$

A forgáskúp térfogata:

$V = \frac{r^{2} \cdot π \cdot H}{3}$

$V = \frac{3^{2} \cdot π \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{3}$

$V = 3^{2} \cdot π \cdot \sqrt{3}$

$V \approx 49 c m^{3}$

MathReference - Példatár