779/HK18. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-779 / 17. példa

Egy jégkrémgyártó üzem fagylalttölcséreket rendel. A csonkakúp alakú fagylalttölcsér belső méretei: felső átmérő 7 cm, alsó átmérő 4 cm, magasság 8 cm.

a) Számítsa ki, hogy a tölcsérbe legfeljebb hány cm³ jégkrém fér el, ha a jégkrém – a csomagolás miatt – csak a felső perem síkjáig érhet!

Ennek a tölcsérnek létezik olyan változata is, amelynek a belső felületét vékony csokoládéréteggel vonják be. 1 kg csokoládé kb. 0,7 m² felület bevonásához elegendő.

b) Számítsa ki, hogy hány kilogramm csokoládéra van szükség 1000 darab tölcsér belső felületének bevonásához! Válaszát egész kilogrammra kerekítve adja meg!

Egy fagylaltozóban hatféle ízű fagylalt kapható: vanília, csokoládé, puncs, eper, málna és dió. Andrea olyan háromgombócos fagylaltot szeretne venni tölcsérbe, amely kétféle ízű fagylaltból áll.

c) Hányféle különböző háromgombócos fagylaltot kérhet, ha számít a gombócok sorrendje is? (Például a dió-dió-vanília más kérésnek számít, mint a dió-vanília-dió.)

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2018. május 8.] - 17..)

Összetett feladatok

a) Számítsa ki, hogy a tölcsérbe legfeljebb hány cm³ jégkrém fér el, ha a jégkrém – a csomagolás miatt – csak a felső perem síkjáig érhet!

A csonkakúp alakú tölcsér méretei cm-ben kifejezve:

$H = 8; R = \frac{7}{2} = 3, 5; r = \frac{4}{2} = 2$

A csonkakúp térfogata:

$V = \frac{H \cdot π (R^{2} + r \cdot R + r^{2})}{3}$

$V = \frac{8 \cdot π (3, 5^{2} + 2 \cdot 3, 5 + 2^{2})}{3}$

$V \approx 195 c m^{3}$

Ennek a tölcsérnek létezik olyan változata is, amelynek a belső felületét vékony csokoládéréteggel vonják be. 1 kg csokoládé kb. 0,7 m² felület bevonásához elegendő.

b) Számítsa ki, hogy hány kilogramm csokoládéra van szükség 1000 darab tölcsér belső felületének bevonásához! Válaszát egész kilogrammra kerekítve adja meg!

Ki kell számolni a csonkakúp palástjának területét és a kisebbik alapkör területét, mivel csak ezekre a felületekre kerül csokoládébevonat:

$s^{2} = H^{2} + {(R - r)}^{2}$

$s^{2} = 8^{2} + {(3, 5 - 2)}^{2}$

$s^{2} = 8^{2} + 1, 5^{2}$

$s = \sqrt{8^{2} + 1, 5^{2}}$

$s \approx 8, 14$

Palást területe:

$T_{1} = s \cdot π \cdot (R + r)$

$T_{1} = 8, 14 \cdot π \cdot (3, 5 + 2)$

$T_{1} \approx 140, 6$

Alapkör területe:

$T_{2} = r^{2} \cdot π = 2^{2} \cdot π$

$T_{2} \approx 12, 6$

$T = T_{1} + T_{2} = 140, 6 + 12, 6$

$T \approx 153, 2$

Ezer tölcsér esetén a bevonandó felület:

$T_{Σ} \approx 1000 \cdot 153, 2$

$T_{Σ} \approx 153 200 c m^{2}$

$1 m^{2} = 100 \cdot 100 c m^{2} = 10 000 c m^{2}$

$T_{Σ} \approx 15, 32 m^{2}$

A bevonáshoz szükséges összes csokoládé mennyiség:

$x \approx \frac{15, 32}{0, 7} \approx 21, 89 k g$

$x \approx 22 k g$

c) Hányféle különböző háromgombócos fagylaltot kérhet, ha számít a gombócok sorrendje is? (Például a dió-dió-vanília más kérésnek számít, mint a dió-vanília-dió.)

Andreának 6 gombócból kell 2 gombócot kiválasztania. Ez 6 elem másodrendű ismtétlés nélküli kombinációja:

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

Két adott íznek 6-féle sorrendje van:

$(a a b), (a b a), (b a a), (b b a), (b a b), (a b b)$

$n = 15 \cdot 6$

$90$

MathReference - Példatár