775/HK18. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-775 / 13. példa

a) Péter és Pál szendvicset és ásványvizet vásárolt a büfében. Péter két szendvicset és két ásványvizet vett 740 Ft-ért, Pál pedig három szendvicset és egy ásványvizet 890 Ft-ért. Mennyibe kerül egy szendvics, és mennyibe kerül egy ásványvíz?

b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$1 - x = \sqrt{x + 5}$

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2018. május 8.] - 13..)

Összetett feladatok

x - szendvics ára
y- ásványvíz ára

$\begin{matrix} 2 x & + & 2 y & = & 740 \\ 3 x & + & y & = & 890 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 2 x & + & 2 y & = & 740 \\ 3 x & + & y & = & 890 & | \cdot (- 2) \end{matrix}$

$\begin{matrix} + 2 x & + & 2 y & = & 740 \\ - 6 x & - & 2 y & = & - 1780 \end{matrix} | +$

$- 4 x = - 1040 | (- 1)$

$4 x = 1040$

$x = \frac{1040}{4}$

$x = 260$

$y = 890 - 3 x$

$y = 890 - 3 \cdot 260$

$y = 110$

szendvics: 260 Ft
ásványvíz: 110 Ft

b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$1 - x = \sqrt{x + 5}$

$x + 5 \geq 0 \land 1 - x \geq 0$

$x \geq - 5 \land x \leq 1$

Eszerint a megoldásnak az alábbi intervalumban kell lennie:

$x \in [- 5, 1]$

${(1 - x)}^{2} = {(\sqrt{x + 5})}^{2}$

$1 - 2 x + x^{2} = x + 5$

$1 - 2 x + x^{2} - x - 5 = 0$

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$a = 1; b = - 3; c = - 4$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

$= \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$

$= \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_{1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2}$

$x_{1} = 4 \notin [- 5, 1]$

$x_{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{- 2}{2}$

$x_{2} = - 1 \in [- 5, 1]$

Mivel a végső megoldás -5 és +1 közé kell essen, ezért az egyetlen megoldás:

$x = - 1$

MathReference - Példatár