MR-725 / 9.) példa

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az y = x és az y = –2x + 2 egyenletű egyenes, valamint az y = x3 − x (0 ≤ x ≤ 1) egyenletű görbe fogja közre.

a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0;0) és (1;0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!

Adott az f: R +→R ; f(x) = − x3+kx függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x=1, illetve az x=2 abszcisszájú pontjában.

b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté-kétől függetlenül) 14/9

a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0;0) és (1;0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!

A medence tervrajzának x tengely feletti része egy olyan háromszög, amelynek a harmadik csúcsa az y = x és az y = –2x + 2 egyenesek metszéspontja.

x=-2x+2

3x=2

x=23

y=x=23

A23,23

A háromszög alakú rész területe:

T1=12·a·ha=12·1·23

T1=13

Az x tengely alatti rész területe:

T2=-01x3-x·dx

=-x44-x2201

=x22-x4401

=12-14-02-04

=12-14

=24-14

T2=14

T=T1+T2

T=13+14

T=4·14·3+3·13·4

T=412+312

T=712

Mivel a tervrajzon 1 egység a valóságban 12 m, ezért 1 területegység a valóságban (122 =) 144 m2.

T=74·144 m2

T=84 m2

Adott az f: R +→R ; f(x) = − x3+kx függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x=1, illetve az x=2 abszcisszájú pontjában.

b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté-kétől függetlenül) 14/9

fx=-x3+kx

Az érintési pontok:

f1=-13+k·1

f1=k-1

A(1;k-1)

f2=-23+k·2

f2=2k-8

B(2;2k-8)

Az első derivált egy adott pontban az érintő egyenes iránytényezője!

f'x=-3x2+k

f'-1=-3-12+k

mA=f'-1=k-3

f'2=-322+k

mB=f'2=k-12

Az érintők egyenlete:

yA=mA·xA+nA

k-1=k-3·1+nA

k-1-k+3=nA

nA=2

y = (k  3)x +2

y = kx  3x + 2

yB=mB·xB+nB

2k-8=k-12·2+nB

2k-8=2k-24+nB

nB=24-8

nB=16

y = k  12x + 16

y = kx-12x + 16

kx-3x+2 = kx  12x + 16

12x-3x= 16-2

9x= 14

x= 149