MR-724 / 8.) példa

a) Legyen f :

f:[1;[[1;[, x2x-1

és g :

g:[1;[[1;[, xx

Oldja meg az f (g(x)) = g(f (x)) egyenletet!

b) Igazolja, hogy tetszőleges a < b paraméterek esetén

ab2x-1dx=b-ab+a-1

c) Határozza meg az a és b egész paraméterek lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy

ab2x-1dx=8 a<b

a) Legyen f :

f:[1;[[1;[, x2x-1

és g :

g:[1;[[1;[, xx

Oldja meg az f (g(x)) = g(f (x)) egyenletet!

fgx=2·x-1

gfx=2x-1

fgx=gfx

2x-1=2x-1

2x-1=2x-1|2

2x-12=2x-12

2x2+2·2x·-1+-12=2x-12

4x-4x+1=2x-1

4x-2x+1+1=4x

2x+2=4x |·12

x+1=2x

x+1=2x |2

x+12=2x2

x2+2x+1=4x

x2+2x+1-4x=0

x2-2x+1=0

x1,2=--2±-22-4·1·12·1=2±4-42=22

x1=x2=x=1

Behelyettesítéssel ellenőrizzük a megoldás megfelel-e az eredeti egyenlet értelmezési tartományának.

21-1=2·1-1

2-1=2-1

1=1

Mivel az x=1 kielégíti az egyenletet, ezért a végső megoldás valóban:

x=1

b) Igazolja, hogy tetszőleges a < b paraméterek esetén

ab2x-1dx=b-ab+a-1

ab2x-1dx

=ab2x·dx-abdx

=2x22-xab

=x2-xab

=b2-b-a2-a

=b2-b-a2+a

=b-ab+a-b+a

=b-ab+a-b-a

=b-ab+a-1

c) Határozza meg az a és b egész paraméterek lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy

ab2x-1dx=8 a<b

ab2x-1dx=b-ab+a-1=8 a<b

Mivel b > a, ezért b – a > 0, tehát (b + a – 1)-nek is pozitívnak kell lennie.

Az a és b egész számok, tehát mindkét szorzótényező egész, így (a sorrendet is figyelembe véve) a 8 négyféleképpen bontható két tényező szorzatára:

8=8·1=4·2=2·4=1·8

b-ab+a-1ba815-3423,5-0.5243,51,51854

Mivel a és b egészek, így két megoldása van a feladatnak:

a=-3 , b=5 ; a=4 , b=5