MR-723 / 7.) példa

Egy gyár a beszállítójától 600 darab terméket rendelt. A gyár csak akkor veszi át a 600 darabot, ha egy visszatevés nélküli mintavétellel adódó 15 elemű mintában egyetlen hibás termék sincs.

a) Ha a 600 termék között 6 hibás van, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintavétel után a gyár átveszi a termékeket?

Egy cég reklámja szerint a termékeik legfeljebb 0,5%-a lehet hibás. A minőséget vissza tevéssel előállított 15 elemű minta alapján ellenőrizték, amelyben 2-szer fordult elő hibás termék.

b) Tegyük fel, hogy a cég termékeinek pontosan 0,5%-a hibás! Igazolja, hogy ekkor 1%-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a cég termékei közül visszatevéssel előállított 15 elemű mintában legalább 2-szer fordul elő hibás termék!

Egy szivattyúkat gyártó cég a selejtes termékeket visszavásárolja a forgalmazóktól, és a selejtraktárban tárolja. A selejtes termékek hibájuk alapján háromféle hibakódot kaphatnak. A törött termékek „T”, a hiányos termékek „H” és az egyéb hibával rendelkező termékek „E” kódot kapnak. Egy termék többféle hibakódot is kaphat a hibái alapján.
A selejtraktárban az év végi nyilvántartás szerint a csak T kóddal, a csak H kóddal és a csak E kóddal rendelkező termékek darabszáma megegyezik. Olyan selejtes termék nincs, amelynek háromféle kódja is van. T kódja 35 terméknek, H kódja 40, E kódja pedig 45 terméknek van. Kétszer annyi terméknek van T és E kódja is, mint ahánynak T és H kódja is.

c) Hány selejtes termék van a selejtraktárban?

Egy gyár a beszállítójától 600 darab terméket rendelt. A gyár csak akkor veszi át a 600 darabot, ha egy visszatevés nélküli mintavétellel adódó 15 elemű mintában egyetlen hibás termék sincs.

a) Ha a 600 termék között 6 hibás van, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintavétel után a gyár átveszi a termékeket?

A 600 termékből 15 elemű (visszatevés nélküli) mintavétel valójában 600 elem 15-öd rendű  ismétlés nélküli kombinációja.

n=C60015=60015=600!15!600-15!

n3,014·1029

Mivel 600 termékből 6 hibás, ezért 594 nem hibás termék létezik.

A 594 termékből 15 elemű (visszatevés nélküli) mintavétel szintén 594 elem 15-öd rendű  ismétlés nélküli kombinációja.

m=C59415=59415=594!15!594-1!

m2,588·1029

Eszerint annak a valószínűsége (A - esemény) hogy 15 elemből mindegyik termék hibátlan lesz:

PA=mn=2,588·10293,014·1029

PA0,85985,9%

Egy cég reklámja szerint a termékeik legfeljebb 0,5%-a lehet hibás. A minőséget vissza tevéssel előállított 15 elemű minta alapján ellenőrizték, amelyben 2-szer fordult elő hibás termék.

b) Tegyük fel, hogy a cég termékeinek pontosan 0,5%-a hibás! Igazolja, hogy ekkor 1%-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a cég termékei közül visszatevéssel előállított 15 elemű mintában legalább 2-szer fordul elő hibás termék!

- hibás termék választásának valószínűsége: 0,005
- nem hibás termék választásának valószínűsége: 0,995.

A komplementer (egymást kizáró) események: 0 db vagy 1 db hibás termék van a 15 elemű mintában.

Annak a valószínűsége, hogy nincs hibás termék a mintában:

P (0) = 0,99515

P (0) 0,9276

Annak a valószínűsége, hogy pontosan 1 hibás termék van a mintában:

P1=151 0,005·0,99514

P1=15·0,005·0,99514

P (1) 0,0699

A kérdezett valószínűség:

PB=1  P(0)  P(1) 

PB1-0,9276-0,0699

PB0,00250,25 %

Ez valóban kisebb 1%-nál.

Egy szivattyúkat gyártó cég a selejtes termékeket visszavásárolja a forgalmazóktól, és a selejtraktárban tárolja. A selejtes termékek hibájuk alapján háromféle hibakódot kaphatnak. A törött termékek „T”, a hiányos termékek „H” és az egyéb hibával rendelkező termékek „E” kódot kapnak. Egy termék többféle hibakódot is kaphat a hibái alapján.
A selejtraktárban az év végi nyilvántartás szerint a csak T kóddal, a csak H kóddal és a csak E kóddal rendelkező termékek darabszáma megegyezik. Olyan selejtes termék nincs, amelynek háromféle kódja is van. T kódja 35 terméknek, H kódja 40, E kódja pedig 45 terméknek van. Kétszer annyi terméknek van T és E kódja is, mint ahánynak T és H kódja is.

c) Hány selejtes termék van a selejtraktárban?

Az adatokat halmazábrán szemléltetve:

A feladat szövege alapján:

x+3y=351x+y+z=402x+2y+z=453

3-2x+2y+z-x+y+z=45-40

y=5

1x+3·5=35

x+15=35

x=35-15

x=20

220+5+z=40

z=40-20-5

z=15

A selejtraktárban található selejtes termékek száma:

n=3·20+5+10+15

n=90