MR-722 / 6.) példa

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja.
A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm × 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm × 5 cm, illetve 6 cm × 2 cm méretű téglalap.

a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!

A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm × 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm × 6 cm-es alaplapjának oldalaival).

b) Hány százalék hulladék keletkezik?

Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50  cm2 nagyságú legyen.

c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja.
A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm × 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm × 5 cm, illetve 6 cm × 2 cm méretű téglalap.

a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!

A test a 6 cm-es él felezőpontján átmenő függőleges síkra szimmetrikus, ezért) csak kétféle hosszúságú testátló van.

A D1 rövidebb testátló hossza egy 6 × 8 × 2 cm élű téglatest testátlója:

D1=62+82+22=36+64+4=104

D110,2

A D2 hosszabb testátló hossza egy 6 × 8 × 5 cm élű téglatest testátlója:

D2=62+82+52=36+64+25=125

D211,2

A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm × 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm × 6 cm-es alaplapjának oldalaival).

b) Hány százalék hulladék keletkezik?

T1=6·2

T1=12

T2=6·8

T2=48

T3=6·5

T3=30

T4=2·8

T4=16

T5=8·32

T5=12

T=T1+T2+T3+2·T4+2·T5

T=12+48+30+2·16+2·12

T=146

A téglalap területe, amelyből a test hálója kivágható:

T0=15·16

T0=240

A hulladék területe összesen:

Th=T0-T=240-146

Th=94

h=ThT0·100 %=94240·100 %

h39,2 %

Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50  cm2 nagyságú legyen.

c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

A kartonlap területe a lap közepén megmaradó téglalap szélességének (x) függvényében:

Tx=2+x+2·4+50x+4

Tx=4+x·8+50x

Tx=32+200x+8x+50

Tx=82+8x+200x

Ennek a függvénynek ott lehet minimuma, ahol az első deriváltja 0.

Tx=82+8x+200·x-1

T'x=8+-1·200·x-1-1

T'x=8-200·x-2

T'x=8-200x2

8-200x2=0

8=200x2

x2=2008

x2=25

x=±25

x=±5

A feladat természetéből adódóan csak a pozitív (egy téglalap oldalának szélessége csak pozitív szám lehet) eredménynek van értelme.

Vizzsgáljuk meg, vajon az x=5 értékben a függvénynek minimuma vagy maximuma van. Ezt a második derivált előjelével tehetjük meg.

T'x=8-200·x-2

T''x=--2·200·x-2-1

T''x=400·x-3

T''x=400x3

T''5=40053>0

A függvénynek ezért az x=5 értékben (lokális és egyben abszolút) minimumhelye van.

x=5

A kartonlap szélessége:

2+x+2=2+5+2=9

A kartonlap magassága:

4+50x+4=4+505+4=18

A kartonlap méretei centiméterben:

9 x 18