MR-721 / 50.) példa

Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak.

a) Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat?

  Pali Lilla
1 pont A kör Képlet
2 pont Kocka A kör
3 pont Képlet Kocka

b) Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen?

c) Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye?

Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett.

d) Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak.

a) Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat?

  Pali Lilla
1 pont A kör Képlet
2 pont Kocka A kör
3 pont Képlet Kocka

A filmek pontjainak száma:

- A kör: 1 + 2 = 3 pontot
- Képlet: 3 + 1 = 4 pont
- Kocka: 2 + 3 = 5 pont

A kör című filmet néznék meg, mivel ez a film kapta a legkevesebb pontot (3).

b) Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen?

A három filmre adott pontszámok összege 3x(1+2+3)=12.

Eszerint  mindhárom filmnek 4 pontot kell kapnia (12/3=4)

Pontegyenlőség a következő esetekben lehetséges, filmenként:

Az egyik film Pali:  1 Lilla:  3;
Másik film Pali:  2 Lilla:  2;
Harmadik film Pali:  3 Lilla:  1;

Tehát a Pali által adott pontszámok egyértelműen meghatározzák a Lilla által adott pontszámokat.
Pali az 1, 2, 3 pontszámokat 3! = 6-féleképp oszthatja ki a három film között (Három elem ismétlés nélküli permutációja)

 6-féleképp oszthatja

c) Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye?

Feltehetjük, hogy Pali a Kocka című filmnek 1, A kör-nek 2, a Képlet-nek pedig 3 pontot adott. Lilla 6-féleképpen pontozhat, megvizsgáljuk, hogy az egyes esetekben néznek-e filmet.

Pali Lilla Lilla Lilla Lilla Lilla Lilla
1 - Kocka: 1 1 2 2 3 3
2 - A kör: 2 3 1 3 1 2
3 - Képlet: 3 2 3 1 2 1
Összegek 2,4,6 2,5,5 3,3,6 3,5,4 4,3,5 4,4,4
Filmnézés Igen Igen Nem Igen Igen Nem

Mivel Pali bármely pontsorrendje esetén a 6 lehetséges esetből 4-ben néznek filmet, ezért a kérdezett valószínűség:

PA=mn=46

PA=23

Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett.

d) Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

A 83 értékelés összege 83 ⋅ 5 = 415

46 darab 1-es értékelés esetén a maradék 37 értékelés összege 415 – 46 = 369

Ez az összeg csak úgy adódhat, ha 36 darab 10-es értékelés mellett 1 darab 9-es értékelést kapott a film.

A szórás:

σ=x1-x2+x2-x2+ +xn-x2n

σ=46·1-52+9-52+36·10-5283

σ=165283

σ4,46