MR-701 / 19.) zadatak

Jednakokraki trapez osnovice 40 cm i 10 cm opisan je oko kružnice. Izračunati poršrinu trougla čija su temena dodirne tačke krakova i manje osnove.

Pošto se kružnica može upisati u trapez, trapez je tangentni četvorougao. Zbog toga, može se napisati sledeća relacija:

a+b=c+c

40+10=2c

2c=50

c=502

c=25

Za pravougli trougao AED se može napisati Pitagorina teorema:

h2+a-b22=c2

h2+40-1022=252

h2+152=252

h2=252-152

h2=625-225

h2=400

h=400

h=20

Za pravougli trougao CFG se može napisati Pitagorina teorema:

 

52=p2+q2

p2+q2=25

Za pravougli trougao OFK se može napisati Pitagorina teorema:

5+q2+10-p2=r2

5+q2+10-p2=102

25+2·5·q+q2+100-2·10·p+p2=100

25+10q+q2-20p+p2=0

25+10q-20p+25=0

10q-20p+50=0

10q-20p+50=0

q-2p+5=0

q=2p-5

p2+q2=25

p2+2p-52=25

p2+4p2-2·2p·5+25=25

5p2-20p=0

5pp-4=0

p-4=0

p=4

q=2p-5=2·4-5=8-5

q=3

P=a·h2=b+2q·p2=10+2·3·42

P=16·42=16·2·22

P=32