A csonkakúp alapkörének sugara R=7 cm, fedőkörének (egyben a henger alakú résznek) a sugara r=5,5 cm, mindkét rész magassága H=10,5 cm

A forgáshenger alakú rész térfogata:

$$V_1=T_1·H=r^2·\pi ·\mathrm{H}$$

$$V_1=5,5^2·\pi ·10,5$$

$$V_1=997,8 c{m}^3$$

A csonkakúp alakú rész térfogata:

$$V_2=\frac{H·\pi ·\left(R^2+R·r+r^2\right)}{3}$$

$$V_2=\frac{10,5·\pi ·\left(7^2+7·5,5+5,5^2\right)}{3}$$

$$V_2=1294,7 c{m}^3$$

Az edény térfogata ezek összege, azaz:

$$V=V_1+V_2$$

$$V=997,8+1294,7$$

a) Az edény térfogata:

$$V=2293 c{m}^3$$

A csonkakúp alkotója egy olyan derékszögű háromszög átfogója (pirossal jelölve az alábbi képen), melynek egyik befogója 10,5 cm, másik befogója (7 – 5,5 =) 1,5 cm hosszú.

$$a=\sqrt{x^2+m^2}=\sqrt{1,5^2+10,5^2}$$

$$a=10,6 cm$$

A csonkakúp palástjának területe:

$$T_1=\left(r+R\right)·a·\pi$$

$$T_1=\left(5,5+7\right)·10,5·\pi$$

$$T_1=416,3 c{m}^2$$

A henger palástjának területe:

$$T_2=2·r·m·\pi$$

$$T_2=2·5.5·\pi ·10,5$$

$$T_2=362,9 c{m}^2$$

Az edény kör alakú alapkörének területe:

$$T_3=R^2·\pi =7^2·\pi$$

$$T_3=153,9 c{m}^2$$

Az edény belső felülete a fenti területek összege:

$$T=T_1+T_2+T_3$$

$$T=416,3+362,9 + 153,9$$

b) Az edény belső felülete:

$$T=933 c{m}^2$$

A vaószínőség kiszámításához el kell osztani a kedvező esetek számát az összes lehetséges esetek számával.

Összes lehetséges esetek száma: hány féleképpen választhatunk ki 4 adag műzlit, 15 + 5 edényből?
Mivel a választás sorrendje nem számít, és egy edényből csak egyet választhatunk ki, ez valójában negyed rendű (4 elemet választunk) ismétlés nélküli komináció 20 elemből.

Az összes (egyenlően valószínű) kiválasztás száma:

$$n=\left(\begin{array}{c}20\\ 4\end{array}\right)=4845$$

A kedvező esetek számához először határozzuk meg, hány féle képpen választhatunk 1 natúr műzlit!

Mivel natúr műzli 5 edényben van, és nekünk egyet kell választanunk ezért ez szintén ismétlés nélküli első rendű (1 elemet választunk) kombináció 5 elemből.

$$m_1=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=\frac{5!}{1!\left(5-1\right)!}=\frac{5·4!}{4!}=5$$

A kedvező esetek számához másodszor határozzuk meg, hány féle képpen választhatunk 3 csokis műzlit!

Mivel csokis műzli 15 edényben van, és nekünk 3-at kell választanunk ezért ez szintén 15 elemből vett harmad rendű ismétlés nélküli kombináció.

$$m_2=\left(\begin{array}{c}15\\ 3\end{array}\right)=\frac{15!}{3!\left(15-3\right)!}=\frac{15·14·13·12!}{3!·12!}=\frac{15·14·13}{3·2}=455$$

A 20 edényből 1 natúr és 3 csokis müzlis edényt a fenti két szám szorzataként kapjuk meg, mivel ezek egymástól teljesen független események:

$$m=m_1·m_2=5·445=2275$$

A valószínűség eszerint:

$$P\left(A\right)=\frac{m}{n}=\frac{2275}{4845}$$

c) Annak a valószínűsége, hogy a 4 edény közül egyben natúr, háromban pedig csokis müzli lesz:

$$P\left(A\right)\approx 0,470$$