Mathematic Problems
395. példa

Zsófi gyertyákat szeretne önteni, hogy megajándékozhassa a barátait.
Öntőformának egy négyzet alapú szabályos gúlát választ, melynek alapéle 6 cm, oldaléle 5 cm hosszúságú. Egy szaküzletben 11 cm oldalú, kocka alakú tömbökben árulják a gyertyának való viaszt. Ezt megolvasztva és az olvadt viaszt a formába öntve készülnek a gyertyák. (A számítások során tekintsen el az olvasztás és öntés során bekövetkező térfogatváltozástól.)
a) Legfeljebb hány gyertyát önthet Zsófi egy 11 cm oldalú, kocka alakú tömbből?

Zsófi az elkészült gúla alakú gyertyák lapjait szeretné kiszínezni. Mindegyik lapot (az alaplapot és az oldallapokat is) egy-egy színnel, kékkel vagy zölddel fogja színezni.
b) Hányféle különböző gyertyát tud Zsófi ilyen módon elkészíteni?
(Két gyertyát különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők egymásba.)

Zsófi a gyertyák öntéséhez három különböző fajta „varázskanócot” használ. Mindegyik fajta „varázskanóc” fehér színű, de meggyújtáskor (a benne lévő anyagtól függően) az egyik fajta piros, a másik lila, a harmadik narancssárga lánggal ég. Zsófi hétfőn egy dobozba tesz 6 darab gyertyát, mindhárom fajtából kettőt-kettőt. Keddtől kezdve minden nap véletlenszerűen kivesz egy gyertyát a dobozból, és meggyújtja.

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg!

a) Legfeljebb hány gyertyát önthet Zsófi egy 11 cm oldalú, kocka alakú tömbből?
1.png
52=h2+32
25=h2+9
h2=25-9=16
h=4
h2=m2+332
42=m2+32
16=m2+9
m2=16-9
m2=7
m=7=2,65 cm
Vgúla=62·m3=36·73=12731,75cm3
Vkocka=113=1331cm3
n=VkockaVgúla=133131,75=41,9
n=41
b) Hányféle különböző gyertyát tud Zsófi ilyen módon elkészíteni?
Az alaplapot kétféleképpen lehet kiszínezni.
Az oldallapok lehetnek ugyanolyan színűek, mindegyik kék, vagy mindegyik zöld (két eset).
Lehet három oldallap zöld és egy kék, vagy három oldallap kék és egy zöld (két eset).
Olyan festésből, amikor két oldallap zöld és két oldallap kék, szintén kétféle lehet, attól függően, hogy az ugyanolyan színű lapok szomszédosak vagy szemköztiek.
Az oldallapokat tehát hatféleképpen lehet kiszínezni.
Összesen 26 = 12-féle különböző színezés készíthető.
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg!
6 gyertyából kell háromat kiválasztani:
q=63=6·5·43!=6·5·43·2·1=5·4=20
Minden fajtából kettő van a dobozban, így a kedvező esetek száma:
r=21·21·21=2·2·2=8
A valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg:
P=rq=820=0,4
END