$$\frac{z-\overline{z}}{2+z·\overline{z}}=$$

$$=\frac{1+i-\left(1-i\right)}{2+\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$$

$$=\frac{1+i-1+i}{2+1^2-i^2}$$

$$=\frac{2i}{2+1-\left(-1\right)}$$

$$=\frac{2}{4}i$$

$$=\frac{1}{2}i$$

$$\frac{z-\overline{z}}{2+z·\overline{z}}=\frac{1}{2}i$$