Magyarország: Matematika középszintű érettségi [2017.05.09.]


Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből.
Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát?

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

Egy hatfős asztaltársaság tagjai: Anna, Balázs, Cili, Dezső, Egon és Fruzsina. Mindegyikük pontosan három másik személyt ismer a társaságban. Cili ismeri Dezsőt és Egont, Anna pedig nem ismeri sem Balázst, sem Dezsőt.

Szemléltesse gráffal a társaság ismeretségi viszonyait! (Minden ismeretség kölcsönös.)

Adja meg azt az x valós számot, amelyre  log2x=-33.

Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a 2-höz pedig 0-t rendel!

A:x2x+4  B:A:x2x-4  C:x-2x+4  D:x-2x-4

Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60º-os szöget zárnak be egymással.
Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala?

Az alábbi ábrán a [–3; 2] intervallumon értelmezett x-2·x-1+3 függvény grafikonja látható.
Adja meg a függvény értékkészletét!

412_1.svg

A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb. A dobozt színültig töltik tejjel.
Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm? Megoldását részletezze!

Oldja meg az alábbi egyenletet a 0;2π intervallumon!

cosx=0,5

Ábrázolja az alábbi számegyenesen az |x|<3 egyenlőtlenség valós megoldásait!

416_1.svg

Egy kockával kétszer egymás után dobunk.
Adja meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám összege 7 lesz! Válaszát indokolja!

Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény:

f:xx-12-4

a) Számítsa ki az f függvény x = – 5 helyen felvett helyettesítési értékét!
b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét!
c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

x-12-4=-x-1

Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, átfogója 17 cm hosszú.

a) Számítsa ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát!
b) Hány cm2 a háromszög körülírt körének területe?

A DEF háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és az átfogója 13,6 cm hosszú.

c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének?

Az alábbi kördiagram egy balatoni strandon a júliusban megvásárolt belépőjegyek típusának eloszlását mutatja.

420_1.svg

Júliusban összesen 16 416 fő vásárolt belépőjegyet. A belépőjegyek árát az alábbi táblázat tartalmazza.

gyerek, diák 350 Ft/fő
felnőtt 700 Ft/fő
nyugdíjas 400 Ft/fő

a) Mennyi volt a strand bevétele a júliusban eladott belépőkből?
A tapasztalatok szerint júliusban folyamatosan nő a strandolók száma. Ezért a strandbüfében bevált rendszer, hogy a július 1-jei megrendelést követően július 2-től kezdve július 31-ig minden nap ugyanannyi literrel növelik a nagykereskedésből megrendelt üdítő mennyiségét.
A könyvelésből kiderült, hogy július 1-jén, 2-án és 3-án összesen 165 litert, július 15-én pedig 198 litert rendeltek.
b) Hány liter üdítőt rendeltek júliusban összesen?

Adott két pont a koordinátasíkon: A(2; 6) és B(4; –2).
a) Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
b) Írja fel az A ponton átmenő, B középpontú kör egyenletét!
Adott az y=3x egyenletű egyenes és az x2+8x+y2-4y=48 egyenletű kör.
c) Adja meg koordinátáikkal az egyenes és a kör közös pontjait!

422_1.jpgA Hód Kft. faárutelephelyén rönkfából (henger alakú fatörzsekből) a következő módon készítenek gerendát. A keretfűrészgép először két oldalt levág egy-egy – az ábrán sötéttel jelölt – részt, majd a fa 90°-kal történő elfordítása után egy hasonló vágással végül egy négyzetes hasáb alakú gerendát készít.
A gépet úgy állítják be, hogy a kapott hasáb alaplapja a lehető legnagyobb legyen.  Most egy forgáshenger alakú, 60 cm átmérőjű, 5 méter hosszú rönkfát fűrészel így a gép.

a) Igaz-e, hogy a kapott négyzetes hasáb alakú fagerenda térfogata kisebb 1 köbméternél?

A Hód Kft. deszkaárut is gyárt, ehhez a faanyagot 30 000 Ft/m3-es beszerzési áron vásárolja meg a termelőtől. A gyártás közben a megvásárolt fa kb. 40%-ából hulladékfa lesz. A késztermék 1 köbméterét 90 000 forintért adja el a cég, de az eladási ár 35%-át a költségekre kell fordítania (feldolgozás, telephely fenntartása stb.)

b) Mennyi haszna keletkezik a Hód Kft.-nek 1 köbméter deszkaáru eladásakor?

A fakitermelő cég telephelyéről hat teherautó indul el egymás után. Négy teherautó fenyőfát, kettő pedig tölgyfát szállít.

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a két, tölgyfát szállító teherautó közvetlenül egymás után gördül ki a telephelyről, ha az autók indulási sorrendje véletlenszerű!

Egy 20 fős társaság tagjait az április havi szabadidős tevékenységeikről kérdezték.  Mindenki három eldöntendő kérdésre válaszolt (igennel vagy nemmel).
I. Volt-e moziban?
II. Olvasott-e szépirodalmi könyvet?
III. Volt-e koncerten?

A válaszokból kiderült, hogy tizenketten voltak moziban, kilencen olvastak szépirodalmi könyvet, és négy fő járt koncerten. Öten voltak, akik moziban jártak és szépirodalmi könyvet is olvastak, négyen pedig moziban és koncerten is jártak. Hárman mindhárom kérdésre igennel válaszoltak.
a) Hány olyan tagja van a társaságnak, aki mindhárom kérdésre nemmel válaszolt?

A társaság 20 tagja közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.
b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legalább az egyikük volt moziban április folyamán!
Attól a kilenc személytől, akik olvastak áprilisban szépirodalmi könyvet, azt is megkérdezték, hogy hány könyvet olvastak el a hónapban. A válaszok (pozitív egész számok) elemzése után kiderült, hogy a kilenc szám (egyetlen) módusza 1, mediánja 2, átlaga 9 16, terjedelme pedig 2.
c) Adja meg ezt a kilenc számot!