Taylor-sor

Amennyiben az f(x) függvény végtelenszer deriválható, akkor a függvény a pont körüli Taylor-sora:

T (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}

vagy egy véges sorozat és a maradéktagon keresztül

T (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k} + R_{n}

Lagrange-féle maradéktag

R_{n} = \frac{f^{(n)} (ξ) {(x - a)}^{n}}{n!}

Cauchy-féle maradéktag

R_{n} = \frac{f^{(n)} (ξ) {(x - ξ)}^{n - 1} (x - a)}{(n - 1)!}

Néhány elemi függvény Taylor-sora

Exponenciális és logaritmusfüggvény

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}; x \in ℝ

\ln (1 + x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1} x^{n + 1}; |x| < 1

Mértani sor

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}; |x| < 1

\frac{x^{m}}{1 - x} = \sum_{n = m}^{\infty} x^{n}; |x| < 1

Binomiális sor

{(1 + x)}^{α} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) x^{n}; |x| < 1 \land α \in ℂ

Trigonometrikus függvények

\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}; x \in ℝ

c o s x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n!} x^{2 n}; x \in ℝ

Hiperbolikus függvények

s h x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}; x \in ℝ

c h x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 n!} x^{2 n}; x \in ℝ

Kulcsszavak: Taylor-sor, Lagrange-féle maradéktag, Cauchy-féle maradéktag